Question

5．已知S_n是数列{a_n}的前n项和，a₁=$\frac{1}{2}$，4S_n²=4a_nS_n-a_n，（n≥2），求a_n．

Answer 1

分析 通过对4S_n²=4a_nS_n-a_n（n≥2）变形及$\frac{1}{{S}_{1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$=2，可得数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以2为首项、4为公差的等差数列，利用a_n=S_n-S_n-1计算即可．

解答 解：∵4S_n²=4a_nS_n-a_n，（n≥2），
∴4S_n（S_n-a_n）=-a_n=S_n-1-S_n，
即4S_n•S_n-1=S_n-1-S_n，
∴4=$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$，
又∵$\frac{1}{{S}_{1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$=2，
∴数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以2为首项、4为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=2+4（n-1）=4n-2，
∴S_n=$\frac{1}{4n-2}$，S_n-1=$\frac{1}{4（n-1）-2}$=$\frac{1}{4n-6}$，
∴a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{4n-2}$-$\frac{1}{4n-6}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n-3}$），
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}，}&{n=1}\\{\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n-3}），}&{n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的递推性质，考查等差数列的通项公式，考查分析问题、解决问题及计算能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，属于难题．