Question

19．设x，y∈（-2，2），且xy=-1，则函数$\frac{4}{4-{x}^{2}}$+$\frac{9}{9-{y}^{2}}$的最小值为$\frac{12}{7}$．

Answer 1

分析 由x，y∈（-2，2），且xy=-1，令$a=\frac{x}{2}$，b=$\frac{y}{3}$，则ab=-$\frac{1}{6}$．a∈（-1，1），b∈$（-\frac{2}{3}，\frac{2}{3}）$．则函数$\frac{4}{4-{x}^{2}}$+$\frac{9}{9-{y}^{2}}$=$\frac{1}{1-{a}^{2}}+\frac{1}{1-{b}^{2}}$≥$\frac{4}{2-{a}^{2}-{b}^{2}}$≥$\frac{4}{2-2ab}$即可得出．

解答 解：由x，y∈（-2，2），且xy=-1，
令$a=\frac{x}{2}$，b=$\frac{y}{3}$，则ab=-$\frac{1}{6}$．a∈（-1，1），b∈$（-\frac{2}{3}，\frac{2}{3}）$．
则函数$\frac{4}{4-{x}^{2}}$+$\frac{9}{9-{y}^{2}}$=$\frac{1}{1-（\frac{x}{2}）^{2}}+\frac{1}{1-（\frac{y}{3}）^{2}}$=$\frac{1}{1-{a}^{2}}+\frac{1}{1-{b}^{2}}$，
∵当s，t＞0时，$\frac{2}{\frac{1}{s}+\frac{1}{t}}$$≤\frac{s+t}{2}$，
∴$\frac{1}{s}+\frac{1}{t}≥\frac{4}{s+t}$
∴$\frac{1}{1-{a}^{2}}+\frac{1}{1-{b}^{2}}$≥$\frac{4}{2-{a}^{2}-{b}^{2}}$，
∵a²+b²≥2ab，
∴0＜2-（a²+b²）≤2-2ab，
∴$\frac{4}{2-{a}^{2}-{b}^{2}}$≥$\frac{4}{2-2ab}$=$\frac{12}{7}$，当且仅当a²=b²=$\frac{1}{6}$时取等号．
∴函数$\frac{4}{4-{x}^{2}}$+$\frac{9}{9-{y}^{2}}$的最小值为$\frac{12}{7}$．
故选：$\frac{12}{7}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了变形能力、算能力，属于中档题．