Question

11．已知向量$\overrightarrow a=（ksin\frac{x}{3}，co{s^2}\frac{x}{3}）$，$\overrightarrow b=（cos\frac{x}{3}，-k）$，实数k为大于零的常数，函数f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$，x∈R，且函数f（x）的最大值为$\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}$．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若$\frac{π}{2}$＜A＜π，f（A）=0，且a=2$\sqrt{10}$，求$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过斜率的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后通过解函数的最大值，求k的值；
（Ⅱ）利用f（A）=0，得到A的值，然后利用余弦定理通过a=2$\sqrt{10}$得到bc范围，然后求$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的最小值．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由已知$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b=（ksin\frac{x}{3}，co{s^2}\frac{x}{3}）•（cos\frac{x}{3}，-k）$=$ksin\frac{x}{3}cos\frac{x}{3}-kco{s^2}\frac{x}{3}=\frac{1}{2}ksin\frac{2x}{3}-k\frac{{1+cos\frac{2x}{3}}}{2}=\frac{k}{2}（sin\frac{2x}{3}-cos\frac{2x}{3}）-\frac{k}{2}$…（2分）=$\frac{{\sqrt{2}k}}{2}（\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin\frac{2x}{3}-\frac{{\sqrt{2}}}{2}cos\frac{2x}{3}）-\frac{k}{2}=\frac{{\sqrt{2}k}}{2}sin（\frac{2x}{3}-\frac{π}{4}）-\frac{k}{2}$…（5分）
因为x∈R，所以f（x）的最大值为$\frac{{（\sqrt{2}-1）k}}{2}=\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}$，则k=1…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，$f（x）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（\frac{2x}{3}-\frac{π}{4}）-\frac{1}{2}$，所以$f（A）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}sin（\frac{2A}{3}-\frac{π}{4}）-\frac{1}{2}=0$
化简得$sin（\frac{2A}{3}-\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
因为$\frac{π}{2}＜A＜π$，所以$\frac{π}{12}＜\frac{2A}{3}-\frac{π}{4}＜\frac{5π}{12}$
则$\frac{2A}{3}-\frac{π}{4}=\frac{π}{4}$，解得$A=\frac{3π}{4}$…（8分）
因为$cosA=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{{{b^2}+{c^2}-40}}{2bc}$，所以${b^2}+{c^2}+\sqrt{2}bc=40$
则${b^2}+{c^2}+\sqrt{2}bc=40≥2bc+\sqrt{2}bc$，所以$bc≤\frac{40}{{2+\sqrt{2}}}=20（2-\sqrt{2}）$…（10分）
则$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=|{\overrightarrow{AB}}||{\overrightarrow{AC}}|cos\frac{3π}{4}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}bc≥20（1-\sqrt{2}）$
所以$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$的最小值为$20（1-\sqrt{2}）$…（12分）

点评 本题考查斜率的数量积，余弦定理的应用，三角函数的最值的求法，考查计算能力．