Question

15．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的实轴长为4$\sqrt{2}$，虚轴的一个端点与抛物线x²=2py（p＞0）的焦点重合，直线y=kx-1与抛物线相切且与双曲线的一条渐进线平行，则p=（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点坐标，推出双曲线的渐近线方程，利用直线与抛物线相切求解即可．

解答 解：抛物线x²=2py（p＞0）的焦点（0，$\frac{p}{2}$），可得b=$\frac{p}{2}$，a=2$\sqrt{2}$，双曲线方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{4y}^{2}}{{p}^{2}}=1$，
它的渐近线方程为：$±\frac{x}{2\sqrt{2}}=\frac{2y}{p}$，即：$y=±\frac{p}{4\sqrt{2}}x$，
直线y=kx-1与抛物线相切且与双曲线的一条渐进线平行，不妨：k=$\frac{p}{4\sqrt{2}}$，
$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{p}{4\sqrt{2}}x-1\\{x}^{2}=2py\end{array}\right.$，可得${x}^{2}=2p（\frac{p}{4\sqrt{2}}x-1）$=$\frac{{p}^{2}}{2\sqrt{2}}x-2p$．
△=${（-\frac{{p}^{2}}{2\sqrt{2}}）}^{2}-8p=0$，解得p=±4．
∵p＞0，∴p=4．
故选：A．

点评 本题考查抛物线与双曲线以及直线方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．