Question

13．已知函数f（x）=e^x（sinx+cosx）+a（a为常数）．
（Ⅰ）已知a=-3，求曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）当0≤x≤π时，求f（x）的值域；
（Ⅲ）设g（x）=（a²-a+10）e^x，若存在x₁，x₂∈[0，π]，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜13-e${\;}^{\frac{π}{2}}$成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函数的导函数，得到函数在x=0时的导数，再求出f（0），然后利用直线方程的点斜式得答案；
（Ⅱ）由原函数的导函数的符号确定原函数的单调区间，从而求得原函数的极大值点，得到函数的最大值，再求出端点值得答案；
（Ⅲ）由a²-a+10＞0，得g（x）在[0，π]上是增函数，从而求得g（x）的值域．由题意得到${a}^{2}-a+10-（{e}^{\frac{π}{2}}+a）＜13-{e}^{\frac{π}{2}}$，求解关于a的不等式得答案．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x（sinx+cosx）+e^x（cosx-sinx）=2e^xcosx，
∴f′（0）=2，f（0）=-2，
∴切线方程为：y+2=2（x-0），即2x-y-2=0为所求的切线方程；
（Ⅱ）由f′（x）=2e^xcosx≥0，得0$≤x≤\frac{π}{2}$，f′（x）=2e^xcosx≤0，得$\frac{π}{2}≤x≤π$．
∴y=f（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上单调递增，在$[\frac{π}{2}，π]$上单调递减．
∴${y}_{max}=f（\frac{π}{2}）={e}^{\frac{π}{2}}+a$．
f（0）=1+a，f（π）=-e^π+a＜f（0），${y}_{min}=f（π）=-{e}^{π}+a$，
∴f（x）的值域为$[-{e}^{π}+a，{e}^{\frac{π}{2}}+a]$；
（Ⅲ）∵a²-a+10＞0，∴g（x）在[0，π]上是增函数，
g（0）=a²-a+10，g（π）=（a²-a+10）e^π，
∴g（x）的值域为[a²-a+10，（a²-a+10）e^π]．
∵${a}^{2}-a+10-（{e}^{\frac{π}{2}}+a）=（a-1）^{2}+（9-{e}^{\frac{π}{2}}）＞0$，
依题意，${a}^{2}-a+10-（{e}^{\frac{π}{2}}+a）＜13-{e}^{\frac{π}{2}}$，
即a²-2a-3＜0，解得：-1＜a＜3．

点评 本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用；考查推理论证能力、运算求解能力以及应用意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等，是压轴题．