Question

7．正三棱锥S-ABC，底面边长为3，侧棱长为2，则其外接球和内切球的半径是多少？

Answer 1

分析 正三棱锥外接球的球心在它的高上，然后根据勾股定理解出外接球的半径；运用分割思想，由大的三棱锥的体积等于四个三棱锥的体积和，即可求出内切球的半径r．

解答 解：由题意，设正三棱锥S-ABC外接球半径为R，则
∵球心O到四个顶点的距离相等，正三棱锥S-ABC的底面边长为3，侧棱长为2，高为1，
∴R²=（$\sqrt{3}$）²+（1-R）²，
∴外接球的半径为R=2；
设内切球的半径是r，则
由斜高为$\frac{\sqrt{7}}{2}$，利用等体积可得$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{3}^{2}×1$=$\frac{1}{3}$r×（3×$\frac{1}{2}×3×\frac{\sqrt{7}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}×{3}^{2}$）
∴r=$\frac{\sqrt{21}-3}{4}$．

点评 本题主要考查球与正三棱锥的关系，通过分割，运用体积转换的思想，是解决本题的关键．