Question

19．已知关于x的不等式ax²-（a+1）x+1＜0．
（1）若a=-3，求不等式的解集；
（2）若a∈R，求不等式的解集；
（3）若不等式对x∈（2，3）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若a=-3，根据一元二次不等式的解法即可求不等式的解集；
（2）若a∈R，讨论a的取值范围即可求不等式的解集；
（3）若不等式对x∈（2，3）恒成立，利用参数分离法即可求a的取值范围．

解答 解：（1）若a=-3，则不等式等价为-3x²+2x+1＜0，即3x²-2x-1＞0，
解得x＞1或x＜-$\frac{1}{3}$，
即不等式的解集为{x|x＞1或x＜-$\frac{1}{3}$}；
（2）若a=0，则不等式等价为-x+1＜0，解得x＞1，
若a≠0，则不等式等价为（x-1）（ax-1）=a（x-1）（x-$\frac{1}{a}$）＜0，
若a＜0，则$\frac{1}{a}$＜1，此时不等式等价为（x-1）（x-$\frac{1}{a}$）＞0，解得x＞1或x＜$\frac{1}{a}$，
若a＞0，则不等式等价为（x-1）（x-$\frac{1}{a}$）＜0，
若a=1，则不等式为（x-1）（x-1）＜0，此时不等式无解．
若a＞1，则$\frac{1}{a}$＜1，则不等式的解为$\frac{1}{a}$＜x＜1，
若0＜a＜1，则$\frac{1}{a}$＞1，则不等式的解为1＜x＜$\frac{1}{a}$，
综上不等式的解集为a=0时，为{x|x＞1}，
若a＜0，不等式的解集为{x|x＞1或x＜$\frac{1}{a}$}，
若a=1，不等式的解集∅．
若a＞1，不等式的解集为（$\frac{1}{a}$，1），
若0＜a＜1，则不等式的解为（1，$\frac{1}{a}$）．
（3）若不等式对x∈（2，3）恒成立，
则此时不等式（ax²-x）＜x-1，
即ax（x-1）＜x-1，
∵x∈（2，3），∴x-1∈（1，2），
∴不等式等价为ax＜1，
即a＜$\frac{1}{x}$恒成立，
∵$\frac{1}{x}$∈（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$），
∴a≤$\frac{1}{3}$，
即a的取值范围是（-∞，$\frac{1}{3}$]．

点评 本题主要考查含参不等式的解法以及不等式恒成立问题，利用分类讨论是解决本题的关键．