Question

4．已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈r）满足f（1）=1，f（-1）=0，且对任意实数x都有f（x）≥x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=f（x）-mx（m∈R），求m的取值范围，使g（x）在区间[-1，1]上是单调函数．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数f（x）满足f（1）=1，f（-1）=0，列出方程组，求出b的值以及a、c的关系；
再根据f（x）≥x恒成立，列出不等式组，求出a、c的值；
（2）求出g（x）的解析式，利用二次函数的图象与性质，求出对称轴x=2m-1满足的条件，求出m的取值范围．

解答 解：（1）∵二次函数f（x）满足f（1）=1，f（-1）=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=1}\\{a-b+c=0}\end{array}\right.$，
解得b=$\frac{1}{2}$，
a+c=$\frac{1}{2}$，
∴c=$\frac{1}{2}$-a；
又对任意实数x都有f（x）≥x，
∴ax²+$\frac{1}{2}$x+（$\frac{1}{2}$-a）≥x，
即ax²-$\frac{1}{2}$x+（$\frac{1}{2}$-a）≥0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{\frac{1}{4}-4a（\frac{1}{2}-a）≤0}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{1}{4}$，∴c=$\frac{1}{4}$；
∴f（x）=$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{4}$；
（2）∵g（x）=f（x）-mx=$\frac{1}{4}$x²+（$\frac{1}{2}$-m）x+$\frac{1}{4}$，其中m∈R，
且二次函数g（x）的图象是抛物线，对称轴是x=2m-1，
∴当2m-1≤-1或2m-1≥1，
即m≤0或m≥1时，
g（x）在区间[-1，1]上是单调函数；
∴m的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞）．

点评 本题考查了求函数的解析式以及二次函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．