Question

13．已知a＞0，b＞0，c＞0，$\frac{1}{{a}^{3}}$+$\frac{1}{{b}^{3}}$+$\frac{1}{{c}^{3}}$+3abc的最小值为m．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）解关于x的不等式|x+1|-2x＜m．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用基本不等式求得m的值．
（Ⅱ）关于x的不等式即|x+1|＜6+2x，故有-6-2x＜x+1＜6+2x，由此求得x的范围．

解答 解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，c＞0，$\frac{1}{{a}^{3}}$+$\frac{1}{{b}^{3}}$+$\frac{1}{{c}^{3}}$≥3$\root{3}{\frac{1}{{a}^{3}}•\frac{1}{{b}^{3}}•\frac{1}{{c}^{3}}}$=$\frac{3}{abc}$，
∴$\frac{1}{{a}^{3}}$+$\frac{1}{{b}^{3}}$+$\frac{1}{{c}^{3}}$+3abc≥$\frac{3}{abc}$+3abc≥2$\sqrt{\frac{3}{abc}•3abc}$=6，当且仅当a=b=c=1时，取等号，
故最小值m=6．
（Ⅱ）∵m=6，则|x+1|-2x＜6，即|x+1|＜6+2x，-6-2x＜x=1＜6+2x，
求得x＞-$\frac{7}{3}$，故原不等式的解集为（-$\frac{7}{3}$，+∞）．

点评 本小题主要考查利用二元和三元基本不等式求最值、绝对值不等式的解法等基础知识；考查运算求解能力，体现了化归与转化、分类与整合的思想，属于中档题．