Question

4．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=1+S_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}为等差数列，且b₁=a₁，公差为$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$．当n≥3时，比较b_n+1与1+b₁+b₂+…+b_n的大小．

Answer 1

分析 （I）由a_n+1=1+S_n（n∈N^*），当n≥2时可得a_n+1=2a_n，当n=1时，$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=2，利用等比数列即可得出；
（II）利用等差数列的通项公式可得：b_n=2n-1．当n≥3时，b_n+1=2n+1.1+b₁+b₂+…+b_n=n²+1．通过作差即可比较出大小．

解答 解：（I）∵a_n+1=1+S_n（n∈N^*），
∴当n≥2时，a_n=1+S_n-1，
∴a_n+1-a_n=a_n，即a_n+1=2a_n，
当n=1时，a₂=1+a₁=2，∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=2，
综上可得：a_n+1=2a_n（n∈N^*），
∴数列{a_n}是等比数列，公比为2，
∴${a}_{n}={2}^{n-1}$．
（II）数列{b_n}为等差数列，且b₁=a₁=1，公差为$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=2．
∴b_n=1+2（n-1）=2n-1．
当n≥3时，b_n+1=2n+1．
1+b₁+b₂+…+b_n=1+$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²+1．
∴n²+1-（2n+1）=n（n-2）＞0，
∴b_n+1＜1+b₁+b₂+…+b_n．

点评 本题考查了递推式的应用、等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式、“作差法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．