Question

19．已知x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1≥0}\\{x+2y-2≤0}\\{kx-y-2k≤0}\end{array}\right.$，其中k＞0，若z=$\frac{1}{3}$x+y的最小值为0，则k=1．

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定a的值即可．

解答 解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）
由z=$\frac{1}{3}$x+y，得y=-$\frac{1}{3}$x+z，
平移直线y=-$\frac{1}{3}$x+z，由图象可知当直线y=-$\frac{1}{3}$x+z经过点B时，直线y=-$\frac{1}{3}$x+z的截距最小，此时z最小为0，即$\frac{1}{3}$x+y=0．
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}x+y=0}\\{x+y-1=0}\end{array}\right.$，解$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
即B（$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
∵点B也在直线kx-y-2k=0上，
代入得$\frac{3}{2}$-（-$\frac{1}{2}$）-2k=0，
即2=2k，
解得k=1．
故答案为：1

点评 本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法．