Question

9．我市湘阴县地处长沙北部、南洞庭湖滨，是长株潭“两型社会”综合配套改革试验区核心区--滨湖示范区的重要组成部分，是全省承接产业发展加工贸易试点县和全省最具投资吸引力的五个县之一．在市委市政府的指导下，计划于2015年在湘阴县长湘公路一侧建设一新型工业园．利用已有地形，现拟在乡村公路上某处C到长湘公路某处B新建一条长为$\sqrt{3}$公里的公路，围成一个三角形区域建设工业园（如图所示）．已知∠A=60°．
（1）若B=$\frac{π}{4}$，求工业园的面积．
（2）求工业园面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理可得b，再利用三角形面积计算公式即可得出；
（2）利用余弦定理、基本不等式的性质可得bc的最大值，进而得到三角形面积的最大值．

解答 解：（1）∵$B=\frac{π}{4}$，
∴由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，及$a=\sqrt{3}$，
得$b=a•\frac{sinA}{sinB}=\sqrt{2}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}\sqrt{2}×\sqrt{3}sin\frac{5π}{12}$．
而$sin\frac{5π}{12}=sin（\frac{π}{6}+\frac{π}{4}）=sin\frac{π}{6}cos\frac{π}{4}+cos\frac{π}{6}sin\frac{π}{4}=\frac{{\sqrt{2}+\sqrt{6}}}{4}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{{3+\sqrt{3}}}{4}$．
（2）${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc$，
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc≥bc，
∴bc≤3，∴${S_{△ABC}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc≤\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$，当且仅当$b=c=\sqrt{3}$时取等号．
∴S_△ABC的最大值为$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$．
答：（1）工业园的面积为$\frac{{3+\sqrt{3}}}{4}$平方公里；
（2）工业园面积的最大值为$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$平方公里．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．