Question

3．F₁，F₂分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F₂作直线交椭圆于A，B两点，已知AF₁⊥BF₁，∠ABF₁=30°，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{2}$
• C． $\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 如图所示，设|AF₁|=m．利用直角三角形的边角关系、椭圆的定义可得m=$\frac{2a（3-\sqrt{3}）}{3}$．在△AF₁F₂中，由余弦定理可得：（2c）²=m²+（2a-m）²-2m（2a-m）cos60°，
化简利用离心率计算公式即可得出．

解答 解：如图所示，设|AF₁|=m．
∵AF₁⊥BF₁，∠ABF₁=30°，
∴|AB|=2m，|AF₂|=2a-m，
|BF₁|=$\sqrt{3}$m，|BF₂|=2m-（2a-m）=3m-2a，
∴$\sqrt{3}$m+3m-2a=2a，
解得m=$\frac{4a}{3+\sqrt{3}}$=$\frac{2a（3-\sqrt{3}）}{3}$．
∴3m²=$（16-8\sqrt{3}）{a}^{2}$，
6am=$（12-4\sqrt{3}）{a}^{2}$．
在△AF₁F₂中，由余弦定理可得：（2c）²=m²+（2a-m）²-2m（2a-m）cos60°，
化为4c²-4a²+6am-3m²=0，
∴4c²-4a²+$（12-4\sqrt{3}）{a}^{2}$-$（16-8\sqrt{3}）{a}^{2}$=0，
化为${e}^{2}=2-\sqrt{3}$，
∴e=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了直角三角形的边角关系、椭圆的定义及其性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．