Question

18．设点F₁，F₂是$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的两个焦点，过F₂的直线l与椭圆相交于A、B两点．
（1）若$\frac{{S}_{△A{F}_{1}{F}_{2}}}{{S}_{△B{F}_{1}{F}_{2}}}$=3，求此时直线l的方程；
（2）求△F₁AB的面积的最大值，并求出此时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）求得椭圆的焦点，设出直线l的方程，代入椭圆方程，消去x，得到y的方程，运用韦达定理，结合三角形的面积公式，解方程即可得到m；
（2）△F₁AB的面积S=$\frac{1}{2}$•4|y₁-y₂|，代入韦达定理，化简整理，再由基本不等式，即可得到所求最大值和m的值，即有直线l的方程．

解答 解：（1）$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的两个焦点F₁（-2，0），F₂（2，0），
设直线l：x=my+2，代入椭圆方程可得（3+m²）y²+4my-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁+y₂=-$\frac{4m}{3+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{2}{3+{m}^{2}}$，①
若$\frac{{S}_{△A{F}_{1}{F}_{2}}}{{S}_{△B{F}_{1}{F}_{2}}}$=3，则$\frac{\frac{1}{2}•4|{y}_{1}|}{\frac{1}{2}•4|{y}_{2}|}$=3，
可令y₁=-3y₂，代入①，可得
-3•$\frac{4{m}^{2}}{（3+{m}^{2}）^{2}}$=-$\frac{2}{3+{m}^{2}}$，
解得m=±$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
即有直线l的方程为x-$\frac{\sqrt{15}}{5}$y-2=0或x+$\frac{\sqrt{15}}{5}$y-2=0；
（2）△F₁AB的面积S=$\frac{1}{2}$•4|y₁-y₂|
=2$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=2$\sqrt{\frac{16{m}^{2}}{（3+{m}^{2}）^{2}}+\frac{8}{3+{m}^{2}}}$
=4$\sqrt{6}$•$\sqrt{\frac{1}{（1+{m}^{2}）+\frac{4}{1+{m}^{2}}+4}}$≤4$\sqrt{6}$•$\sqrt{\frac{1}{2\sqrt{4}+4}}$=2$\sqrt{3}$，
当且仅当1+m²=2，即m=±1时，S取得最大值2$\sqrt{3}$．
即有△F₁AB的面积的最大值为2$\sqrt{3}$，此时直线l的方程为x+y-2=0或x-y-2=0．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，同时考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题和易错题．