Question

8．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）点M在线段PC上，PM=$\frac{1}{3}$PC，若平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=AD，三棱锥M-BCQ的体积为$\frac{2}{3}$，求点Q到平面PAB的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由PA=PD，得到PQ⊥AD，又底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，得BQ⊥AD，利用线面垂直的判定定理得到AD⊥平面PQB利用面面垂直的判定定理得到平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）由平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，得PQ⊥平面ABCD，利用三棱锥M-BCQ的体积为$\frac{2}{3}$，求出AB，利用等体积求点Q到平面PAB的距离．

解答 （I）证明：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，
又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，
又PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，
又∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD；
（II）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，
∴PQ⊥平面ABCD，
设AB=2a，则由题意，PQ=QB=$\sqrt{3}$a，
∵PM=$\frac{1}{3}$PC，∴M到平面QBC的距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
∵BC⊥BQ，三棱锥M-BCQ的体积为$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2a×\sqrt{3}a×\frac{2\sqrt{3}}{3}a$=$\frac{2}{3}$，
∴a=1
设点Q到平面PAB的距离为h，则
△PAB中，PA=AB=2，PB=$\sqrt{6}$，∴S_△PAB=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{4-\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$
由等体积可V_P-QBA=V_Q-PAB得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×\sqrt{3}=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{15}}{2}h$
∴h=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题给出特殊四棱锥，求证面面垂直并求点Q到平面PAB的距离，着重考查了平面与平面垂直的判定、平面与平面垂直的性质和体积公式等知识，属于中档题．