Question

13．已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的一条曲线，若存在实数t，使得f（x+t）+tf（x）=0对任意x都成立，则称f（x）是“回旋函数”．给下列四个命题：
①函数f（x）=x+1不是“回旋函数”；
②函数f（x）=x²是“回旋函数”；
③若函数f（x）=a^x（a＞1）是“回旋函数”，则t＜0；
④若函数f（x）是t=2时的“回旋函数”，则f（x）在[0，4030]上至少有2015个零点．
其中为真命题的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①利用回旋函数的定义即可．
②利用回旋函数的定义，令x=0，则必须有a=0；令x=1，则有a²+3a+1=0，故可判断；
③若指数函数y=a^x为阶数为t回旋函数，根据定义求解，得出结论．
④由定义得到f（x+2）=-2f（x），由零点存在定理得，在区间（x，x+2）上必有一个零点令x=0，2，2×2，3×2，…，2015×2，即可得到

解答 解：对于①函数f（x）=x+1为回旋函数，则由f（x+t）+tf（x）=0，得x+t+1+t（x+1）=0，t（x+2）=-1-x，∴t=-$\frac{x+1}{x+2}$，故结论正确．
对于．②函数f（x）=x²是“回旋函数”若（x+t）²+tx²=0对任意实数都成立，令x=0，则必须有t=0，令x=1，则有t²+3t+1=0，显然t=0不是这个方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故结论不正确；
对于③，若指数函数y=a^x为阶数为t回旋函数，则a^x+t+ta^x=0，a^t+t=0，∴t＜0，∴结论成立，
对于④：若f（x）是t=2的回旋函数，则f（x+2）+2f（x）=0对任意的实数x都成立，即有f（x+2）=-2f（x），则f（x+2）与f（x）异号，由零点存在定理得，在区间（x，x+2）上必有一个零点，可令x=0，2，4，6，…，2015×2，则函数f（x）在[0，4030]上至少存在2015个零点．故结论正确
故真命题为：①③④，
故选：C．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查函数的周期、函数的零点注意转化为函数的图象的交点个数，考查数形结合的能力，以及运算能力，属于中档题