Question

18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c=5，$B=\frac{2π}{3}$，△ABC的面积是$\frac{{15\sqrt{3}}}{4}$．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求cos2A的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用正弦定理求得a的值，再利用余弦定理求得b的值．
（Ⅱ）由正弦定理求得sinA的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2A的值．

解答 解：（Ⅰ）因为△ABC的面积是$\frac{{15\sqrt{3}}}{4}$，c=5，$B=\frac{2π}{3}$，
所以$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{{15\sqrt{3}}}{4}$，即$\frac{1}{2}a•5•\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{{15\sqrt{3}}}{4}$，求得a=3．
由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，得${b^2}=25+9-2×5×3×cos\frac{2π}{3}=49$，求得b=7．
（Ⅱ）由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，可得$sinA=\frac{3}{7}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{3\sqrt{3}}}{14}$，
∴$cos2A=1-2{sin^2}A=1-2×{（{\frac{{3\sqrt{3}}}{14}}）^2}=\frac{71}{98}$．

点评 本题主要考查正弦定理和余弦定理、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．