Question

9．已知函数f（x）=lnx+ax．
（1）求f（x）的单调性．
（2）若x=1是f（x）的极值点，求直线y=-1与曲线y=f（x）的交点个数．

Answer 1

分析 （1）先求函数的定义域，然后求导数，解不等式即可；
（2）根据x=1是极值点，可求出a的值，然后研究函数的极值，最值情况，然后即可判断它们的交点个数．

解答 解：（1）因为f′（x）=$\frac{1}{x}+a=\frac{ax+1}{x}$，x＞0．
当a=0时，$f′（x）=\frac{1}{x}＞0$．（x＞0），故此时函数为定义域内的增函数．
当a≠0时，令f′（x）=0得x=$-\frac{1}{a}$．
a＞0时，由f′（x）＞0结合函数的定义域得x＞0，故此时函数在定义域内是增函数，
a＜0时，由f′（x）＞0得0$＜x＜-\frac{1}{a}$，由f′（x）＜0得x$＞-\frac{1}{a}$．
故函数f（x）在（0，$-\frac{1}{a}$）上递增，在[-$\frac{1}{a}，+∞$）上递减．
（2）由x=1是极值点得f′（1）=0，所以a+1=0，得a=-1．
所以f（x）=lnx-x，（x＞0）．
令f$′（x）=\frac{1-x}{x}$=0得x=1．由f′（x）＜0得x＞1，f′（x）＞0得0＜x＜1．
所以f（x）在（0，1）上递增，在[1，+∞）上递减．
所以f（x）_极大值=f（1）=-1．且当x→0时，f（x）→-∞；当x→+∞时，f（x）→-∞．
而y=-2＜-1，所以直线y=-2与函数y=f（x）的图象有两个不同的交点．

点评 本题考查了导数在研究函数的单调性，判断函数的零点的方法，要注意数形结合思想的应用．