Question

19．直角△ABC的三个顶点都在给定的抛物线y²=2x上，且斜边AB和y轴平行，则RT△ABC斜边上的高的长度为2．

Answer 1

分析 结合抛物线的方程与性质设出A，B，C的坐标，即可表达出斜边上的高|CD|，再由直角三角形的性质得到斜边上中线的长度，然后利用两点之间的距离公式表达出中线的长度，即可得到一个等式，进而求出斜边上的高得到答案．

解答 解：由题意，斜边平行y轴，即垂直对称轴x轴，
可设C的坐标为（$\frac{{c}^{2}}{2}$，c），B的坐标为（$\frac{{b}^{2}}{2}$，b），则A的坐标为（$\frac{{b}^{2}}{2}$，-b）；
$\overrightarrow{AC}$=（$\frac{{c}^{2}}{2}$-$\frac{{b}^{2}}{2}$，c-b），$\overrightarrow{CB}$=（$\frac{{b}^{2}}{2}$-$\frac{{c}^{2}}{2}$，-b-c），
又由Rt△ABC的斜边为AB，则有AC⊥CB，
即$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CB}$=0，
变形可得|b²-c²|=4，
而斜边上的高即C到AB的距离为|$\frac{{b}^{2}}{2}$-$\frac{{c}^{2}}{2}$|=2．
故答案为：2．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查抛物线的标准方程等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．