Question

15．已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的各个顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为16π，且AB：AD：AA₁=$\sqrt{3}$：1：2，则球O到平面ABCD的距离为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由已知得球O的半径R=2，设AB=$\sqrt{3}$k，AD=k，AA₁=2k，则（2k）²+k²+（$\sqrt{3}$k）²=（2R）²=16，得到AA₁，由此能求出球O到平面ABCD的距离．

解答 解：设球O的半径为R，16π=4πR²，R=2，2R=4，
设AB=$\sqrt{3}$k，AD=k，AA₁=2k，
（2k）²+k²+（$\sqrt{3}$k）²=（2R）²=16，
解得k=$\sqrt{2}$，
∴AA₁=2$\sqrt{2}$，
∴球O到平面ABCD的距离为$\sqrt{2}$，
故选：B

点评 本题为长方体与外接球的问题，长方体的体对角线等于其外接球O的直径是解决问题的关键，属基础题．