Question

3．设函数f（x）=（x-1）e^x-ax²
（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当2＜a＜3时，求函数f（x）在[0，a]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，由题意可得f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，则2a≤e^x在（0，+∞）上恒成立．运用指数函数的单调性，即可得到a的取值范围；
（Ⅱ）求出导函数f′（x）=x（e^x-2a），判断出在[0，ln2a]单调递减，[ln2a，a]单调递增，判断求出最值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的导数为f′（x）=x（e^x-2a），
函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
即有f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
则2a≤e^x在（0，+∞）上恒成立．
由于e^x＞1，
则2a≤1，解得a≤$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）∵f（x）=（x-1）e^x-ax²，
∴f′（x）=x（e^x-2a），
当a∈（2，3）时，f′（x）=0，x=0，x=ln2a；
f′（x）＞0，x＜0，x＞ln2a；
f′（x）＜0，0＜x＜ln2a，
∵令m（x）=x-ln2x，
m′（x）=$\frac{x-1}{x}$，
m′（x）＞0，x＞1，m′（x）＜0，0＜x＜1，
m′（x）=$\frac{1-x}{x}$=0．x=1
∴m（x）_min=1-ln2＞0，
∴x＞ln2x即a＞ln2a，
∵x∈[0，a]，
∴[0，ln2a]单调递减，[ln2a，a]单调递增，
f（x）_min=2a（ln2a-1）-a（ln2a）²，
f（0）=-1，f（a）=（a-1）e^a-a³，
∵当a∈（2，3）时，
∴f（a）=（a-1）e^a-a³＞f（0）=-1，
∴函数f（x）在[0，a]上的最大值为（a-1）e^a-a³．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查不等式恒成立问题转化为求函数的值域，考查函数的单调性的运用，属于中档题．