Question

5．动点P在椭圆x²+a（y-1）²=a（a＞0）上移动时，求连结原点O和点P所得线段长的最大值．

Answer 1

分析 x²+a（y-1）²=a（a＞0），化为$\frac{{x}^{2}}{a}+（y-1）^{2}$=1．（a≠1）设x=$\sqrt{a}$cosθ，y=1+sinθ，θ∈[0，2π）．可得|OP|=$\sqrt{（1-a）（sinθ+\frac{1}{1-a}）^{2}+a+1-\frac{1}{1-a}}$，对a分类讨论：当0＜a＜1时，当a＞2时，当1＜a≤2时，再利用二次函数与三角函数的单调性即可得出．

解答 解：x²+a（y-1）²=a（a＞0），化为$\frac{{x}^{2}}{a}+（y-1）^{2}$=1．（a≠1）
设x=$\sqrt{a}$cosθ，y=1+sinθ，θ∈[0，2π）．
∴|OP|=$\sqrt{aco{s}^{2}θ+（1+sinθ）^{2}}$=$\sqrt{（1-a）（sinθ+\frac{1}{1-a}）^{2}+a+1-\frac{1}{1-a}}$，
当0＜a＜1时，$\frac{1}{1-a}＞1$，∴当sinθ=1时，|OP|取得最大值，|OP|_max=2．
当a＞2时，$-1＜\frac{1}{1-a}＜0$，1-a＜0，当sinθ=$\frac{1}{a-1}$时，|OP|取得最大值，|OP|_max=a+1-$\frac{1}{1-a}$=$\frac{{a}^{2}}{a-1}$．
当1＜a≤2时，$\frac{1}{1-a}$≤-1，1-a＜0，当sinθ=-1时，|OP|取得最大值，|OP|_max=$\sqrt{a}$．
综上可得：|OP|_max=$\left\{\begin{array}{l}{2，0＜a＜1}\\{\sqrt{a}，1＜a≤2}\\{\frac{{a}^{2}}{a-1}，a＞2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程与参数方程及其性质、二次函数与三角函数的单调性，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．