Question

20．在等比数列{a_n}中，a₁=1，a₃，a₂+a₄，a₅成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b₁+$\frac{{b}_{2}}{2}$+…+$\frac{{b}_{n}}{n}$=a_n（n∈N•），{b_n}的前n项和为S_n，求满足S_n-1＞a_n+b_n的n的最小值．

Answer 1

分析 （1）通过a₃，a₂+a₄，a₅成等差数列，可得q=2，进而可得结论；
（2）通过b₁+$\frac{{b}_{2}}{2}$+…+$\frac{{b}_{n}}{n}$=a_n（n∈N^*），可得b_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{n=1}\\{n•{2}^{n-2}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，易得当n=1时不满足题意；当n≥2时利用错位相减法计算即可．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公比为q，
∵a₃，a₂+a₄，a₅成等差数列，
∴2（a₂+a₄）=a₃+a₅，
即2（q+q³）=q²+q⁴，解q=2，
又∵a₁=1，∴a_n=2^n-1；
（2）∵b₁+$\frac{{b}_{2}}{2}$+…+$\frac{{b}_{n}}{n}$=a_n（n∈N^*），
∴当n=1时，b₁=a₁=1，
当n≥2时，$\frac{{b}_{n}}{n}$=a_n-a_n-1=2^n-2，
∴b_n=n•2^n-2，即b_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{n=1}\\{n•{2}^{n-2}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
∴当n=1时，S₁=b₁=1，∴S₁-1=0，不满足S₁-1＞a₁+b₁；
当n≥2时S_n=1+2×2⁰+3×2¹+…+n×2^n-2，
∴2S_n=2+2×2¹+3×2²+…+n×2^n-1，
两式相减得：-S_n=1+2¹+…+2^n-2-n×2^n-1
=$\frac{1-{2}^{n-1}}{1-2}-n×{2}^{n-1}$=（1-n）2^n-1-1，
∴S_n=1+（n-1）2^n-1．
要使S_n-1＞a_n+b_n，只需（n-1）2^n-1＞2^n-1+n×2^n-2，
解得n＞4，
∴满足S_n-1＞a_n+b_n的n的最小值为5．

点评 本题考查等差数列、等比数列的概念及性质，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．