Question

11．对于定义在正整数集且在正整数集上取值的函数f（x）满足f（1）≠1，且对?n∈N^*，有f（n）+f（n+1）+f（f（n））=3n+1，则f（2）=（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 令n=1，得到等式f（1）+f（2）+f（f（1））=4，分别讨论f（2）的取值，进行排除验证即可．

解答 解：∵对?n∈N^*，有f（n）+f（n+1）+f（f（n））=3n+1，
∴令n=1，
则f（1）+f（2）+f（f（1））=4，
若f（2）=2，
则f（1）+f（f（1））=2，
则必有f（1）=1，f（f（1））=1，与f（1）≠1矛盾，
若f（2）=3，
则f（1）+f（f（1））=1，
∵定义在正整数集且在正整数集上取值的函数f（x），
∴f（x）≥1，此时方程不成立，
若f（2）=4，
则f（1）+f（f（1））=0，
∵定义在正整数集且在正整数集上取值的函数f（x），
∴f（x）≥1，此时方程不成立，
若f（2）=1，
则f（1）+f（f（1））=3，
∵定义在正整数集且在正整数集上取值的函数f（x），f（1）≠1，
∴f（1）=2，f（2）=1成立，
故选：A．

点评 本题主要考查函数值的运算和判断，利用特殊值法和排除法是解决本题的关键．