Question

15．已知数列{a_n}的前n项和S_n=10n-n²（n∈N^*），又b_n=|a_n|（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}的前n项和S_n=10n-n²（n∈N^*），当n=1时，a₁=S₁=9，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出．
（2）由a_n=11-2n≥0，解得n≤5．可得b_n=|a_n|=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n≤5}\\{-{a}_{n}，n≥6}\end{array}\right.$．当n≤5时，T_n=S_n．当n≥6时，T_n=2S₅-S_n，即可得出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和S_n=10n-n²（n∈N^*），
∴当n=1时，a₁=S₁=9，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=10n-n²-[10（n-1）-（n-1）²]=11-2n．
当n=1时上式也成立，
∴a_n=11-2n．
（2）由a_n=11-2n≥0，解得n≤5．
∴b_n=|a_n|=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}，n≤5}\\{-{a}_{n}，n≥6}\end{array}\right.$．
∴当n≤5时，T_n=S_n=10n-n²．
当n≥6时，T_n=2S₅-S_n
=2×（10×5-5²）-（10n-n²）
=n²-10n+50．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{10n-{n}^{2}，n≤5}\\{{n}^{2}-10n+50，n≥6}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、递推式的应用、含绝对值数列的求和，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．