Question

6．如图所示，在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，PA⊥平面ABCD，且PA=1，E，Q分别为AB，BC的中点，F在边PD上，$\overrightarrow{PF}=λ\overrightarrow{PD}$，λ∈（0，1）．
（1）当λ=$\frac{1}{4}$时，求证：AQ⊥EF；
（2）若平面PAQ与平面EFQ所成锐二面角的大小为60°，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，边AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，根据已知条件求出点A，Q，E，F的坐标，求数量积等于0即可；
（2）设F（0，y，z），根据条件$\overrightarrow{PF}=λ\overrightarrow{PD}$便可求得F（0，2λ，1-λ），取AQ中点M，容易判断出BM为平面PAQ的一个法向量．可设平面EFQ的法向量为$\overrightarrow{n}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，根据$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EQ}=0}\end{array}\right.$即可表示出向量$\overrightarrow{n}$的坐标，从而由平面PAQ与平面EFQ所成锐二面角的大小为60°便得到cos60°=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BM}$＞|，这样即可建立关于λ的方程，解方程即得λ的值．

解答 解：（1）证明：如图，以A为原点，直线AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则：
A（0，0，0），E（$\frac{1}{2}$，0，0），Q（1，1，0），P（0，0，1），D（0，2，0），B（1，0，0）；
设F（0，y，z），∴$\overrightarrow{PF}=（0，y，z-1）$，$\overrightarrow{PD}=（0，2，-1）$；
∵$\overrightarrow{PF}=\frac{1}{4}\overrightarrow{PD}$；
∴（0，y，z-1）=$\frac{1}{4}$（0，2，-1）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}}\\{z=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$；
∴$F（0，\frac{1}{2}，\frac{3}{4}）$；
$\overrightarrow{AQ}=（1，1，0），\overrightarrow{EF}=（-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{3}{4}）$；
∴$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{EF}=0$；
∴AQ⊥EF；
（2）设F（0，y，z），$\overrightarrow{PF}=λ\overrightarrow{PD}$；
∴（0，y，z-1）=λ（0，2，-1）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=2λ}\\{z=1-λ}\end{array}\right.$；
∴F（0，2λ，1-λ）；
取AQ的中点为M，连接BM，则M（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0$）；
∵AB=BQ；
∴BM⊥AQ；
又PA⊥平面ABCD，BM?平面ABCD；
∴PA⊥BM，即BM⊥PA，PA∩AQ=A；
∴BM⊥平面PAQ；
∴$\overrightarrow{BM}$=（$-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0$）为平面PAQ的一个法向量；
设平面EFQ的法向量为$\overrightarrow{n}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$；
则$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{EF}，\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{EQ}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EQ}=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{x}_{1}+（2λ）•{y}_{1}+（1-λ）{z}_{1}=0}\\{\frac{1}{2}{x}_{1}+{y}_{1}=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-2{y}_{1}}\\{{z}_{1}=\frac{1+2λ}{λ-1}{y}_{1}}\end{array}\right.$，取y₁=1，则$\overrightarrow{n}=（-2，1，\frac{1+2λ}{λ-1}）$；
∵平面PAQ与平面EFQ所成锐二面角的大小为60°；
∴cos60°=|cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BM}＞$|=$\frac{1+\frac{1}{2}}{\sqrt{5+（\frac{1+2λ}{λ-1}）^{2}}•\sqrt{\frac{1}{2}}}$；
∴解得$λ=\frac{5-\sqrt{13}}{3}$，或$λ=\frac{5+\sqrt{13}}{3}$（舍去）；
即$λ=\frac{5-\sqrt{13}}{3}$．

点评 考查建立空间直角坐标系，利用空间向量证明空间异面直线垂直，解决空间角的方法，以及两非零向量垂直的充要条件，线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，平面法向量的概念，向量数量积的坐标运算，向量夹角余弦的坐标公式，平面法向量的夹角和平面二面角的平面角度大小的关系．