Question

3．设变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{5x+2y-18≤0}\\{2x-y≥0}\\{x+y-3≥0}\end{array}\right.$，若直线kx-y+2=0经过该可行域，则当k取最大值时，z=kx+2y的最小值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 0
• D． -1

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，先利用直线的斜率的应用求出最大的k，然后利用平移即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图，
由kx-y+2=0得y=kx+2，则直线过定点D（0，2），
由图象知当直线经过A时，k取得最大值，
由$\left\{\begin{array}{l}{5x+2y-18=0}\\{2x-y=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，
即A（2，4），此时4=2k+2，即2k=2，
解得k=1，解集k的最大值为1，
此时z=kx+2y=x+2y，
由z=x+2y，得$y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$，平移直线$y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$，
由平移可知当直线$y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$经过点C时，直线$y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$的截距最小，此时z取得最小值，
由$\left\{\begin{array}{l}{5x+2y-18=0}\\{x+y-3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-1}\end{array}\right.$，即C（4，-1），代入z=x+2y得z=4-2=2，
故选：B．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用直线的斜率以及图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．