Question

20．设函数f（x）=$\frac{x}{m（x+2）}$，方程f（x）=x有唯一解，数列{a_n}满足f（a_n）=a_n+1（n∈N^*），且f（1）=$\frac{2}{3}$数列{b_n}满足b_n=$\frac{{4-3{a_n}}}{a_n}（{n∈{N^*}}）$．
（Ⅰ）求证：数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是等差数列；
（Ⅱ）数列{c_n}满足c_n=$\frac{1}{{{b_n}•{b_{n+1}}}}（{n∈{N^*}}）$，其前n项和为S_n，若存在n∈N^*，使kS_n=$\frac{1}{2}n+4（{k∈R}）$成立，求k的最小值；
（Ⅲ）若对任意n∈N^*，使不等式$\frac{t}{{（{\frac{1}{b_1}+1}）（{\frac{1}{b_2}+1}）…（{\frac{1}{b_n}+1}）}}≤\frac{1}{{\sqrt{2n+1}}}$成立，求实数t的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过根的判别式为零可知$f（x）=\frac{x}{{m（{x+2}）}}$=x有唯一解时$m=\frac{1}{2}$，从而$f（{a_n}）=\frac{{2{a_n}}}{{{a_n}+2}}={a_{n+1}}$，计算可知$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2}$，利用$f（{a_1}）=\frac{2}{3}$得a₁=1；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）得b_n=2n-1，通过拆项可知c_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），从而利用基本不等式解$k{S_n}=\frac{1}{2}n+4$可得$k≥4+\frac{17}{2}=\frac{25}{2}$；
（Ⅲ）对已知不等式变形及$\frac{1}{b_n}+1=\frac{1}{2n-1}+1=\frac{2n}{2n-1}＞0$可知$g（n）=\frac{{（{\frac{1}{b_1}+1}）（{\frac{1}{b_2}+1}）…（{\frac{1}{b_n}+1}）}}{{\sqrt{2n+1}}}$＞0，通过作商法可知g（n）是递增数列，计算即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=\frac{x}{{m（{x+2}）}}$，方程f（x）=x有唯一解，
∴$\frac{x}{{m（{x+2}）}}=x$，即mx²+（2m-1）x=0（m≠0）有唯一解．
∴△=4m²-4m+1=0．所以$m=\frac{1}{2}$，
∴$f（x）=\frac{2x}{x+2}$，∴$f（{a_n}）=\frac{{2{a_n}}}{{{a_n}+2}}={a_{n+1}}$，
∴a_na_n+1+2a_n+1-2a_n=0，
∴$1+\frac{2}{a_n}-\frac{2}{{{a_{n+1}}}}=0$，
∴$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2}$，
∵$f（{a_1}）=\frac{2}{3}$，∴$\frac{{2{a_1}}}{{{a_1}+2}}=\frac{2}{3}$，解得a₁=1．
所以数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$首项为1，公差为$\frac{1}{2}$的等差数列；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）得 $\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2}n+\frac{1}{2}$，∴${a_n}=\frac{2}{n+1}$．
∵${b_n}=\frac{{4-3{a_n}}}{a_n}$，∴b_n=2n-1，
∴${c_n}=\frac{1}{{{b_n}•{b_{n+1}}}}=\frac{1}{{（{2n-1}）（{2n+1}）}}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）$，
∴${S_n}=\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）$=$\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{2n+1}}）=\frac{n}{2n+1}$，
∵$k{S_n}=\frac{1}{2}n+4$，∴$k=\frac{{{n^2}+\frac{17}{2}n+4}}{n}=n+\frac{4}{n}+\frac{17}{2}$，
所以$k≥4+\frac{17}{2}=\frac{25}{2}$，当且仅当$n=\frac{4}{n}$，即n=2时等号成立．
所以k的最小值是$\frac{25}{2}$；
（Ⅲ）∵$\frac{t}{{（{\frac{1}{b_1}+1}）（{\frac{1}{b_2}+1}）…（{\frac{1}{b_n}+1}）}}≤\frac{1}{{\sqrt{2n+1}}}$，
∴$t≤\frac{{（{\frac{1}{b_1}+1}）（{\frac{1}{b_2}+1}）…（{\frac{1}{b_n}+1}）}}{{\sqrt{2n+1}}}$．
令$g（n）=\frac{{（{\frac{1}{b_1}+1}）（{\frac{1}{b_2}+1}）…（{\frac{1}{b_n}+1}）}}{{\sqrt{2n+1}}}$，
∵$\frac{1}{b_n}+1=\frac{1}{2n-1}+1=\frac{2n}{2n-1}＞0$，∴g（n）＞0，
∴$\frac{{g（{n+1}）}}{g（n）}=\frac{{（{\frac{1}{{{b_{n+1}}}}+1}）\sqrt{2n+1}}}{{\sqrt{2n+3}}}$=$\frac{2n+2}{{\sqrt{4{n^2}+8+3}}}=\frac{2n+2}{{\sqrt{4{{（{n+1}）}^2}-1}}}＞1$，
∴g（n）是递增数列，从而$g（n）≥g（1）=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，∴$t≤\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
所以t的最大值是$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题是一道数列与不等式的综合题，涉及到基本不等式，数列的单调性，根的判别式等知识，考查分析、解决问题的能力以及计算能力，注意解题方法的积累，属于难题．