Question

12．（1）证明：垂直同一平面的两直线平行；
（2）已知l₁⊥平面α，l₂⊥平面α，且l₁，l₂与α的交点分别为O₁，O₂，A、B分别在l₁，l₂上，且AO₁=3，BO₂=1，O₁O₂=2，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）可用反证法证明：垂直于同一平面的两条直线平行．设直线a、b都与平面α垂直，并假设a、b不平行，再作出辅助线和辅助平面，结合线面垂直的定义和平行线的性质，可以证出经过空间一点有两条直线与已知直线垂直，得到与公理矛盾，所以原假设不成立，从而得到原命题是真命题；
（2）由（1）知，l₁∥l₂，过B作BC⊥AO₁，利用勾股定理可得结论．

解答 （1）证明：设直线a、b都与平面α垂直，可以用反证法证明a、b必定是平行直线
假设a、b不平行，过直线b与平面α的交点作直线d，使d∥a
∴直线d与直线b是相交直线，设它们确定平面β，且β∩α=c
∵b⊥α，c?α，∴b⊥c．同理可得a⊥c，
又∵d∥a，∴d⊥c
这样经过一点作出两条直线b、d都与直线c垂直，这是不可能的
∴假设不成立，故原命题是真命题；
（2）解：由（1）知，l₁∥l₂，过B作BC⊥AO₁，则BC=O₁O₂=2，AC=2，
∴|AB|=2$\sqrt{2}$．

点评 考查了反证法的思路和线面垂直的定义等知识点，属于基础题．