Question

9．已知函数f（x）=|x+a|-2x（a＜0），若f（x）≤0的解集M⊆{x|x≥2}，则实数a的取值范围是（-∞，-6]．

Answer 1

分析 分类讨论解绝对值不等式求的M，再根据M⊆{x|x≥2}，求得实数a的取值范围．

解答 解：不等式f（x）≤0即|x+a|≤2x，等价于$\left\{\begin{array}{l}{x+a≥0}\\{a-x≤0}\end{array}\right.$ ①或$\left\{\begin{array}{l}{x+a＜0}\\{-a-3x≤0}\end{array}\right.$②，
解①求得x≥-a，解②求得-$\frac{a}{3}$≤x＜-a，故原不等式的解集M={x|x≥-$\frac{a}{3}$ }．
由于M⊆{x|x≥2}，则-$\frac{a}{3}$≥2，解得a≤-6，
故答案为：（-∞，-6]．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．