Question

8．已知函数f（x）=2sin（x+$\frac{π}{4}$），x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若θ∈（0，π），且f（0）=f（θ），求θ的值；
（3）若f（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，f（β-$\frac{π}{4}$）=$\frac{10}{13}$，α，β∈（0，$\frac{π}{2}$）求sin（α+β）．

Answer 1

分析 （1）根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期为 $\frac{2π}{ω}$，求得函数f（x）的最小正周期．
（2）由条件求得 sin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，再结合θ+$\frac{π}{4}$的范围，求得θ+$\frac{π}{4}$的值，可得θ的值．
（3）由条件利用同角三角函数的基本关系求得 sinα、cosα、sinβ、cosβ的值，再利用两角和的正弦公式求得sin（α+β）的值．

解答 （1）函数f（x）=2sin（x+$\frac{π}{4}$），x∈R的最小正周期为2π．
（2）∵f（0）=f（θ），∴$\sqrt{2}$=2sin（θ+$\frac{π}{4}$），∴sin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，又θ∈（0，π），
∴θ+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$），∴θ+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$，∴θ=$\frac{π}{2}$．
（3）∵f（α-$\frac{π}{4}$）=2sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∴sinα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，结合α，β∈（0，$\frac{π}{2}$）可得cosα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
又 f（β-$\frac{π}{4}$）=2sinβ=$\frac{10}{13}$，∴sinβ=$\frac{3}{5}$，结合，β∈（0，$\frac{π}{2}$），可得cosβ=$\frac{4}{5}$．
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=$\frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{4}{5}$+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，利用了函数y=Asin（ωx+φ）的周期为  $\frac{2π}{ω}$，属于基础题．