Question

13．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F，经过点F作倾斜角为135°的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为M，直线AB与OM的夹角为θ，且tanθ=3，求这个椭圆的离心率．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点M（x₀，y₀）．k_AB=-1．代入椭圆方程并且相减可得：$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=k_OM，由于直线AB与OM的夹角为θ，且tanθ=3，利用“到角公式”，解得k_OM，再利用离心率计算公式即可得出．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点M（x₀，y₀），k_AB=-1．
代入椭圆方程可得：$\frac{{x}_{1}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{2}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
两式相减可得：$\frac{{x}_{0}}{{a}^{2}}-\frac{{y}_{0}}{{b}^{2}}$=0，
∴$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=k_OM，
∵直线AB与OM的夹角为θ，且tanθ=3，
∴3=$\frac{{k}_{OM}-（-1）}{1-{k}_{OM}}$，解得k_OM=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴这个椭圆的离心率e=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、“点差法”、“到角公式”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．