Question

18．设点F₁（-c，0）、F₂（c，0）分别是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞0）的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的最小值为0．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l₁：y=kx+m，l₂：y=kx+n（直线l₁、l₂不重合），若l₁、l₂均与椭圆C相切，试探究在x轴上是否存在定点Q，使点Q到l₁、l₂的距离之积恒为1？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）设出P点的坐标，得到$\overrightarrow{{F}_{1}P}$，$\overrightarrow{{F}_{2}P}$的坐标，由$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$最小值为0求出c的值，进而求出a²的值，从而求出椭圆的方程；
（II）分别把l₁，l₂代入椭圆方程得：m²=1+2k²，n²=1+2k²，从而m+n=0，设在x轴上存在点Q（t，0），点Q到直线l₁，l₂的距离之积为1，得到：|k²t²-m²|=k²+1，从而求出t的值．

解答 解：（I）设P（x，y），则有$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=（x+c，y），$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=（x-c，y），
$\overrightarrow{{PF}_{1}}$•$\overrightarrow{{PF}_{2}}$=x²+y²-c²=$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}}$x²+1-c²，x∈[-a，a]，
由$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$最小值为0得：1-c²=0⇒c=1⇒a²=2，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（II）把l₁的方程代入椭圆方程得：（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0，
∵直线l₁与椭圆C相切，∴△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=0，
化简得：m²=1+2k²，
同理可得：n²=1+2k²，
∴m²=n²，若m=n，则l₁，l₂重合，不合题意，
∴m=-n即m+n=0，
设在x轴上存在点Q（t，0），点Q到直线l₁，l₂的距离之积为1，
则$\frac{|kt+m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$-$\frac{|kt-m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，即：|k²t²-m²|=k²+1，
把1+2k²=m²代入并去绝对值整理，
k²（t²-3）=2或者k²（t²-1）=0
前式显然不恒成立；而要使得后式对任意的k∈R恒成立
则t²-1=0，解得：t=±1；
综上所述，满足题意的定点Q存在，其坐标为（-1，0）或（1，0）．

点评 本题考查了求椭圆的标准方程问题，考查了直线和圆锥曲线的关系，是一道中档题．