Question

8．已知函数f（x）=1-$\frac{a}{x}+ln\frac{1}{x}$（a为实数）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在点$（\frac{1}{2}，f（\frac{1}{2}））$处的切线方程；
（Ⅱ）设函数h（a）=3λa-2a²（其中λ为常数），若函数f（x）在区间（0，2）上不存在极值，且存在a满足h（a）≥λ+$\frac{1}{8}$，求λ的取值范围；
（Ⅲ）已知n∈N^*，求证：ln（n+1）＜1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化简函数的解析式，求出函数的导数，利用切线方程的求法，求出斜率切点坐标求解即可．
（Ⅱ）通过f'（x）=0求出极值点x=a，利用函数f（x）在区间（0，2）上不存在极值，得到a的范围，然后转化条件为h（a）_max≥$λ+\frac{1}{8}$，①当λ≤0或$λ≥\frac{8}{3}$时，②当$0＜λ≤\frac{4}{3}$时，③当$\frac{4}{3}＜λ＜\frac{8}{3}$时，分别求解h（a）_max，推出λ的范围．
（Ⅲ）当a=1时，求出函数的导数：$f'（x）=\frac{1-x}{x^2}$，当x∈（0，1）时，当∈（1，+∞）时，利用函数的单调性求出最大值，推出$ln\frac{1}{x}≤\frac{1-x}{x}$，令$x=\frac{n}{n+1}$，推出$ln（n+1）-lnn＜\frac{1}{n}$，然后利用累加法推出结果．

解答 （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）当a=1时，$f（x）=1-\frac{1}{x}+ln\frac{1}{x}$，$f'（x）=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}$，
则$f'（\frac{1}{2}）=4-2=2$，$f（\frac{1}{2}）=1-2+ln2=ln2-1$∴函数f（x）的图象在点$（\frac{1}{2}，f（\frac{1}{2}））$的切线方程为：$y-（ln2-1）=2（x-\frac{1}{2}）$，
即2x-y+ln2-2=0…（4分）
（Ⅱ）$f'（x）=\frac{a}{x^2}-\frac{1}{x}=\frac{a-x}{x^2}$，由f'（x）=0⇒x=a
由于函数f（x）在区间（0，2）上不存在极值，所以a≤0或a≥2…（5分）
由于存在a满足h（a）≥$λ+\frac{1}{8}$，所以h（a）_max≥$λ+\frac{1}{8}$…（6分）
对于函数h（a）=3λa-2a²，对称轴$a=\frac{3}{4}λ$
①当$\frac{3λ}{4}≤0$或$\frac{3λ}{4}≥2$，即λ≤0或$λ≥\frac{8}{3}$时，$h{（a）_{max}}=h（\frac{3}{4}λ）=\frac{9}{8}{λ^2}$，
由h（a）_max≥$λ+\frac{1}{8}$$⇒\frac{9}{8}{λ^2}≥λ+\frac{1}{8}$，结合λ≤0或$λ≥\frac{8}{3}$可得：$λ≤-\frac{1}{9}$或$λ≥\frac{8}{3}$
②当$0＜\frac{3λ}{4}≤1$，即$0＜λ≤\frac{4}{3}$时，h（a）_max=h（0）=0，
由h（a）_max≥$λ+\frac{1}{8}$$⇒0≥λ+\frac{1}{8}$，结合$0＜λ≤\frac{4}{3}$可知：λ不存在；
③当$1＜\frac{3λ}{4}＜2$，即$\frac{4}{3}＜λ＜\frac{8}{3}$时，h（a）_max=h（2）=6λ-8；
由h（a）_max≥$λ+\frac{1}{8}$$⇒6λ-8≥λ+\frac{1}{8}$，结合$\frac{4}{3}＜λ＜\frac{8}{3}$可知：$\frac{13}{8}≤λ＜\frac{8}{3}$
综上可知：$λ≤-\frac{1}{9}$或$λ≥\frac{13}{8}$…（9分）
（Ⅲ）当a=1时，$f'（x）=\frac{1-x}{x^2}$，当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，∴$f（x）=1-\frac{1}{x}+ln\frac{1}{x}$在x=1处取得最大值f（1）=0
即$f（x）=1-\frac{1}{x}+ln\frac{1}{x}≤f（1）=0$，∴$ln\frac{1}{x}≤\frac{1-x}{x}$，…（11分）
令$x=\frac{n}{n+1}$，则$ln\frac{n+1}{n}＜\frac{1}{n}$，即$ln（n+1）-lnn＜\frac{1}{n}$，
∴ln（n+1）=ln（n+1）-ln1=[ln（n+1）-lnn]+[lnn-ln（n-1）]+…+（ln2-ln1）$＜\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n-2}+…+\frac{1}{1}$．
故$ln（n+1）＜1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+…+\frac{1}{n}$． …（14分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及数列与函数的关系，考查导数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．