Question

17．在极坐标系中，设圆C：ρ=4cosθ与直线l：θ=$\frac{π}{4}$（ρ∈R）交于A，B两点，求以AB为直径的圆的极坐标方程．

Answer 1

分析 首先，将给定的圆化为直角坐标方程，然后，求解点A、B的坐标，然后，确定其方程．

解答 解：以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系，
则由题意，得圆C的直角坐标方程x²+y²-4x=0，
直线l的直角坐标方程y=x．…（4分）
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-4x=0}\\{y=x}\end{array}\right.$，解得
$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
所以A（0，0），B（2，2），
从而以AB为直径的圆的直角坐标方程为（x-1）²+（y-1）²=2，
即x²+y²=2x+2y．…（7分）
将其化为极坐标方程为：ρ²-2ρ（cosθ+sinθ）=0，
即ρ=2（cosθ+sinθ）．…（10分）

点评 本题重点考查了圆的极坐标方程和普通方程、极坐标和直角坐标方程的互化等知识．