Question

7．若直线2x+y-2$\sqrt{5}$=0过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1$
• B． x²-$\frac{{y}^{2}}{4}=1$
• C． $\frac{{x}^{2}}{10}-\frac{{y}^{2}}{5}=1$
• D． $\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$

Answer 1

分析 令y=0可得双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，利用直线2x+y-2$\sqrt{5}$=0与双曲线的一条渐近线垂直，可得$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，即可求出a，b，从而可得双曲线的方程．

解答 解：令y=0可得，x=$\sqrt{5}$，
∵直线2x+y-2$\sqrt{5}$=0过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，
∴c=$\sqrt{5}$，
∵直线2x+y-2$\sqrt{5}$=0与双曲线的一条渐近线垂直，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=2，b=1，
∴双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1$，
故选：A．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．