Question

12．已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，2cos²$\frac{A}{2}$-cos（B+C）=0
（1）求角A的值
（2）若a=2$\sqrt{3}$，b+c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由三角函数恒等变换化简已知等式可得cosA=-$\frac{1}{2}$，结合A的范围，即可求得A的值．
（2）结合已知由余弦定理可可求得：12=16-bc，解得：bc=4，由三角形面积公式即可求解．

解答 解：（1）∵2cos²$\frac{A}{2}$-cos（B+C）=0
⇒1+cosA+cosA=0
⇒cosA=-$\frac{1}{2}$，
∵A，B，C为△ABC的三个内角，
∴A=$\frac{2π}{3}$．
（2）∵a=2$\sqrt{3}$，b+c=4，
∴由余弦定理可知：a²=12=b²+c²-2bccosA=b²+c²+bc=（b+c）²-bc=16-bc，可解得：bc=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换，三角形面积公式的应用，综合性较强，属于基本知识的考查．