Question

4．学校开展阳光体育活动，对学生的锻练时间进行随机抽样调查，从中随机抽取男、女生各25名进行了问卷调查，得到了如下列联表：

锻练时间	男生	女生	合计
少于1小时	5	15	20
不少于1小时	20	10	30
合  计	25	25	50

（Ⅰ） 根据上表数据求x，y，并据此资料分析：有多大的把握可以认为“锻练时间与性别有关”？
（Ⅱ） 从这50名学生中用分层抽样的方法抽取5人为样本，求从该样本中任取2人，
至少有1人锻练时间少于1小时的概率．
K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥K0）	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用对立检验的表格法则，填写表格，可得x，y，利用公式求出得K²，推出有99.5%以上的把握认为“锻练时间与性别有关”．
（Ⅱ）用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，得到抽取了锻练时间少于1小时2人，不少于1小时3人，分别记作A₁、A₂；B₁、B₂、B₃．写出基本事件的情况，其至少有1人的锻练时间少于1小时的基本事件的情况，然后求解概率．

解答 本题满分（12分）．
解：（Ⅰ）

锻练时间	男生	女生	合计
少于1小时	5	15	20
不少于1小时	20	10	30
合  计	25	25	50

x=15，y=20  …（2分）
由已知数据得K²=$\frac{50（{5×10-20×15）}^{2}}{20×30×25×25}$≈8.333＞7.879…（4分）
所以有99.5%以上的把握认为“锻练时间与性别有关”…（6分）
（Ⅱ）用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，所以抽取了锻练时间少于1小时2人，不少于1小时3人，分别记作A₁、A₂；B₁、B₂、B₃．
从中任取2人的所有基本事件共10个：（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，B₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，B₃），（A₁，A₂），（B₁，B₂），（B₂，B₃），（B₁，B₃）．…（8分）
其中至少有1人的锻练时间少于1小时的基本事件有7个：（A₁，B₁），（A₁，B₂），
（A₁，B₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₂，B₃），（A₁，A₂）．…（10分）
∴从中任取2人，至少有1人的锻练时间少于1小时的概率为$\frac{7}{10}$．…（12分）

点评 本题考查对立检验，古典概型的概率的求法，考查计算能力．