Question

16．若函数f（x）=|x-1|+|x-2|，不等式|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x）对一切t∈R恒成立，k为非零常数，则实数x的取值范围为[$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]．

Answer 1

分析 由|t-k|+|t+k|≥|（t-k）-（t+k）|=2|k|，（|t-k|+|t+k|）_min=2|k|，|t-k|+|t+k|≥|k|f（x）对于任意t∈R恒成立转化为f（x）≤2  即|x-1|+|x-2|≤2，解绝对值不等式可得x的取值集合

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x-3，x＞2}\\{1，1≤x≤2}\\{3-2x，x＜1}\end{array}\right.$，
∵|t-k|+|t+k|≥|（t-k）-（t+k）|=2|k|
∴（|t-k|+|t+k|）_min=2|k|
问题转化为f（x）≤2，即|x-1|+|x-2|≤2
显然由$\left\{\begin{array}{l}{2x-3≤2}\\{x＞2}\end{array}\right.$ 得2＜x≤$\frac{5}{2}$或$\left\{\begin{array}{l}{3-2x≤2}\\{x＜1}\end{array}\right.$ 得$\frac{1}{2}≤$x＜1
∴实数x的取值集合为[$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]
故答案为：[$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]

点评 本题考查了绝对值不等式的几何意义，不等式的恒成立转化为求解函数的最值问题是关键，属于中档题，