Question

7．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2cos（A+2C）=1-4sinBsinC
（1）求A；
（2）若a=3，sin$\frac{B}{2}$=$\frac{1}{3}$，求b．

Answer 1

分析 （1）已知等式中的A+2C变形为（A+C）+C，将A+C=π-B代入，利用诱导公式及两角和与差的余弦函数公式化简，整理后求出cosA的值，即可确定出A的度数；
（2）由sin$\frac{B}{2}$的值求出cos$\frac{B}{2}$的值，利用二倍角的正弦函数公式求出sinB的值，再由a，sinA的值，利用正弦定理求出b的值即可．

解答 解：（1）由2cos（A+2C）=1-4sinBsinC，
变形得：2cos[（A+C）+C]=1-4sinBsinC，即2cos[π-（B-C）]=1-4sinBsinC，
化简得：-2cos（B-C）=1-4sinBsinC，即-2（cosBcosC+sinBsinC）=1-4sinBsinC，
整理得：-2（cosBcosC-sinBsinC）=1，即cos（B+C）=-$\frac{1}{2}$，
∴cos（π-A）=-cosA=-$\frac{1}{2}$，即cosA=$\frac{1}{2}$，
则A=60°；
（2）∵sin$\frac{B}{2}$=$\frac{1}{3}$，∴cos$\frac{B}{2}$=$\sqrt{1-（{\frac{1}{3}）}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sinB=2sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$，即$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{b}{\frac{4\sqrt{2}}{9}}$，
解得：b=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$×$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{8\sqrt{6}}{9}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．