Question

12．已知函数f（x）=alnx+$\frac{1-a}{2}$x²-（b+1）x（a为实常数，且a≠1），曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为1-$\frac{3}{2}$a．
（1）求实数b的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，由题意可得f′（2）=1-$\frac{3}{2}$a，即可求得b=0：
（2）求出导数，并分解，对a讨论，分$\frac{1}{2}$＜a＜1时，0＜a＜$\frac{1}{2}$时，a≤0时，a＞1时，a=$\frac{1}{2}$时，分别求得导数大于0和导数小于0的解集，即可得到所求单调区间．

解答 解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=$\frac{a}{x}$+（1-a）x-（b+1），
f′（2）=1-$\frac{3}{2}$a，即$\frac{a}{2}$+2（1-a）-（b+1）=1-$\frac{3}{2}$a，
解得b=0；
（2）f′（x）=$\frac{a}{x}$+（1-a）x-1=$\frac{1-a}{x}$（x-1）（x-$\frac{a}{1-a}$），
①$\frac{a}{1-a}$＞1，即$\frac{1}{2}$＜a＜1，1-a＞0，f′（x）＞0解得x＞$\frac{a}{1-a}$或0＜x＜1，
f′（x）＜0解得1＜x＜$\frac{a}{1-a}$．
即有f（x）的增区间为（0，1），（$\frac{a}{1-a}$，+∞），减区间为（1，$\frac{a}{1-a}$）；
②$\frac{a}{1-a}$＜1，即a＜$\frac{1}{2}$或a＞1，
（ⅰ）0＜a＜$\frac{1}{2}$，则1-a＞0，0＜$\frac{a}{1-a}$＜1，
f′（x）＞0，即有x＞1，或0＜x＜$\frac{a}{1-a}$，f′（x）＜0解得$\frac{a}{1-a}$＜x＜1；
即有f（x）的增区间为（0，$\frac{a}{1-a}$）（1，+∞），减区间为（$\frac{a}{1-a}$，1）；
（ⅱ）若a≤0，则1-a＞0，x-$\frac{a}{1-a}$≥x+0＞0，
f′（x）＞0，即有x＞1，f′（x）＜0，即有0＜x＜1，
则f（x）的增区间为（1，+∞），f（x）的减区间为（0，1）；
（ⅲ）若a＞1，1-a＜0，则x-$\frac{a}{1-a}$＞x+0＞0，
f′（x）＞0，即有0＜x＜1，f′（x）＜0，即有x＞1，
则f（x）的减区间为（1，+∞），f（x）的增区间为（0，1）；
③若$\frac{a}{1-a}$=1，则a=$\frac{1}{2}$，f′（x）=$\frac{1}{2x}$（x-1）²≥0，x=1取等号，
即有f（x）的增区间为（0，+∞），无减区间．
综上可得，$\frac{1}{2}$＜a＜1时，f（x）的增区间为（0，1），（$\frac{a}{1-a}$，+∞），减区间为（1，$\frac{a}{1-a}$）；
0＜a＜$\frac{1}{2}$时，f（x）的增区间为（0，$\frac{a}{1-a}$）（1，+∞），减区间为（$\frac{a}{1-a}$，1）；
a≤0时，f（x）的增区间为（1，+∞），f（x）的减区间为（0，1）；
a＞1时，f（x）的减区间为（1，+∞），f（x）的增区间为（0，1）；
a=$\frac{1}{2}$时，f（x）的增区间为（0，+∞），无减区间．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和求单调区间，主要考查导数的几何意义和分类讨论的思想方法，属于中档题和易错题．