Question

8．如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AD=DC=CB=2，AB=4，矩形AEFC中，AE=$\sqrt{3}$，平面AEFC⊥平面ABCD，点G是线段EF的中点
（Ⅰ）求证：AG⊥平面BCG
（Ⅱ）求二面角D-GC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面垂直的判定定理证明AG⊥CG，即可证明AG⊥平面BCG
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角D-GC-B的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：在梯形ABCD中，因为AD=DC=CB=2，AB=4，所以∠ABC=60°，
由余弦定理求得AC=2$\sqrt{3}$，
从而∠ACB=90°，
即BC⊥AC，
又因为平面AEFC⊥平面ABCD，
所以BC⊥平面AEFC，
所以BC⊥AG，
在矩形AEFC中，tan∠AGE=$\frac{AE}{EG}=1$，
则∠AGE=$\frac{π}{4}$，
tan∠CGF=$\frac{CF}{GF}=1$，则∠CGF=$\frac{π}{4}$，
所以∠CGF+∠AGE=$\frac{π}{2}$，
即AG⊥CG，
所以AG⊥平面BCG；
（Ⅱ）FC⊥AC，平面AEFC⊥平面ABCD，
所以FC⊥平面ABCD，
以点C为原点，CA，CB，CF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0），A（2$\sqrt{3}$，0，0），B（0，2，0），D（$\sqrt{3}$，-1，0），G（$\sqrt{3}$，0，$\sqrt{3}$），
平面BCG的法向量$\overrightarrow{GA}$=（$\sqrt{3}$，0，-$\sqrt{3}$），
设平面GCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CG}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\end{array}\right.$，从而$\left\{\begin{array}{l}{x+z=0}\\{\sqrt{3}x-y=0}\end{array}\right.$，
令x=1，则y=$\sqrt{3}$，z=-1，
则$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，-1），
所以cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{GA}$＞=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3+3}•\sqrt{1+3+1}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
而二面角D-GCB为钝角，
故所求二面角的余弦值为-$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题主要考查空间线面垂直的判定，以及二面角的求解，利用向量法是解决二面角的常用方法．