Question

13．设数列{a_n}的前n项积为T_n，且T_n=2-2a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=（1-a_n）（1-a_n+1），数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：$\frac{1}{12}$≤S_n＜$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}的前n项积为T_n，且T_n=2-2a_n，当n=1时，a₁=2-2a₁，解得a₁．当n≥2时，T_n-1=2-2a_n-1，可得${a}_{n}=\frac{{T}_{n}}{{T}_{n-1}}$，取n=2，3，可得a₂=$\frac{3}{4}$，a₃=$\frac{4}{5}$，
…，猜想a_n=$\frac{n+1}{n+2}$．验证成立即可．
（2）由（1）可得：b_n=$\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}$，可得数列{b_n}的前n项和为S_n．再利用数列的单调性即可得出．

解答 （1）解：∵数列{a_n}的前n项积为T_n，且T_n=2-2a_n，
∴当n=1时，a₁=2-2a₁，解得a₁=$\frac{2}{3}$．
当n≥2时，T_n-1=2-2a_n-1，
∴${a}_{n}=\frac{{T}_{n}}{{T}_{n-1}}$=$\frac{2-2{a}_{n}}{2-2{a}_{n-1}}$，
化为${a}_{n}=\frac{1}{2-{a}_{n-1}}$，
取n=2，3，可得a₂=$\frac{3}{4}$，a₃=$\frac{4}{5}$，
…，
猜想a_n=$\frac{n+1}{n+2}$．
经过验证成立．
∴a_n=$\frac{n+1}{n+2}$．
（2）证明：b_n=（1-a_n）（1-a_n+1）=$（1-\frac{n+1}{n+2}）（1-\frac{n+2}{n+3}）$=$\frac{1}{（n+2）（n+3）}$=$\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}$．
∴数列{b_n}的前n项和为S_n=$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{4}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}）$
=$\frac{1}{3}-\frac{1}{n+3}$，
由于数列$\{\frac{1}{3}-\frac{1}{n+3}\}$单调递增，
∴${S}_{1}≤{S}_{n}＜\frac{1}{3}$，
${S}_{1}=\frac{1}{12}$．
即$\frac{1}{12}$≤S_n＜$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了递推式的应用、数列通项公式的求法、“裂项求和”、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．