Question

11．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0））的离心率为$\frac{1}{2}$，点F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+$\sqrt{6}$=0相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆上的右顶点和上顶点分别为A、B，直线l平行于AB，与x、y轴分别交于M、N，与椭圆交于C、D，证明：△BCN与△AMD的面积相等．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+$\sqrt{6}$=0相切，可得$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$=b．又$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，解出即可．
（2）由于AB∥CD，要证明△BCN与△AMD的面积相等，只要证明CN=DM即可，因此只要证明线段CD与相等MN的中点重合，利用“点差法”与斜率计算公式即可得出．

解答 （1）解：∵椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+$\sqrt{6}$=0相切，∴$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$=b．
∴b=$\sqrt{3}$．
又$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，
解得c=1，a²=4．
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）证明：直线AB的方程为：$\frac{x}{2}+\frac{y}{\sqrt{3}}=1$，化为y=$-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\sqrt{3}$．
设直线l的方程为：y=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+m，
可得M$（\frac{2\sqrt{3}}{3}m，0）$，N（0，m），
∴线段MN的中点为P$（\frac{\sqrt{3}}{3}m，\frac{m}{2}）$．
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），线段CD的中点为Q（x₀，y₀）．
则$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}_{1}^{2}}{3}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
两式相减可得：$\frac{{x}_{0}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{{y}_{0}}{3}=0$，
∴${y}_{0}=\frac{\sqrt{3}}{2}{x}_{0}$．
∴$\frac{m}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}m$，
即线段CD与相等MN的中点重合，
∴CN=DM，
又AB∥CD，
∴△BCN与△AMD的面积相等．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、“点差法”、斜率计算公式、三角形面积计算公式、线段的中点，考查了推理能力与计算能力，属于难题．