Question

15．半径为R的球内部装有4个半径相同的小球，则小球半径r的可能最大值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{{2+\sqrt{3}}}R$
• B． $\frac{1}{{1+\sqrt{3}}}R$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{{3+\sqrt{6}}}R$
• D． $\frac{{\sqrt{5}}}{{2+\sqrt{5}}}R$

Answer 1

分析 由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，求出正四面体的外接球半径，即可求得结论．

解答 解：由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大．
以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为2r，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的球心，
该正四面体的高为$\sqrt{4{r}^{2}-（\frac{2\sqrt{3}r}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}r}{3}$，
设正四面体的外接球半径为x，则x²=（$\frac{2\sqrt{6}r}{3}$-x）²+（$\frac{2\sqrt{3}r}{3}$）²，
∴x=$\frac{\sqrt{6}}{2}$r，
∴R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$r+r，
∴r=$\frac{\sqrt{6}}{3+\sqrt{6}}$R．
故选：C．

点评 本题考查点、线、面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大是关键．