Question

6．正四棱锥S-ABCD，底面边长为2，侧棱长为3，则其外接球和内切球的半径是多少？

Answer 1

分析 正四棱锥外接球的球心在它的高上，然后根据勾股定理解出外接球的半径；运用分割思想，由大的四棱锥的体积等于四个三棱锥的体积和一个小的四棱锥的体积之和，即可求出内切球的半径r．

解答 解：正四棱锥S-ABCD的外接球的球心在它的高SO₁上，
记球心为O，SO=AO=R，SO₁=$\sqrt{7}$，OO₁=R-$\sqrt{7}$，或OO₁=$\sqrt{7}$-R（此时O在PO₁的延长线上），
在Rt△AO₁O中，R²=2+（R-$\sqrt{7}$）²得R=$\frac{9\sqrt{7}}{14}$，
设内切球的半径为r，则正四棱锥S-ABCD，底面边长为2，侧棱长为3，高为$\sqrt{7}$，斜高为2$\sqrt{2}$，
运用分割思想，可得即$\frac{1}{3}$×$\sqrt{7}$×2²=$\frac{1}{3}$r（4×$\frac{1}{2}$×$2×2\sqrt{2}$+4），
∴r=$\frac{4\sqrt{7}}{8\sqrt{2}+4}$=$\frac{2\sqrt{14}-\sqrt{7}}{7}$，

点评 本题主要考查球与正四棱锥的关系，通过分割，运用体积转换的思想，是解决本题的关键．