Question

17．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的左、右顶点分别为D、E，过点D作直线l依次交椭圆C，直线x=$\sqrt{3}$于M、N两点，若点M位于第一象限，求$\frac{|ME|}{|NE|}$的取值范围．

Answer 1

分析 设直线l的方程为y=k（x+$\sqrt{3}$），$0＜k＜\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$．与椭圆方程联立可得：$（2+3{k}^{2}）{x}^{2}+6\sqrt{3}{k}^{2}x$+9k²-6=0，解得M$（\frac{2\sqrt{3}-3\sqrt{3}{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}，\frac{4\sqrt{3}k}{2+3{k}^{2}}）$，E$（\sqrt{3}，0）$，利用两点之间的距离公式可得：$\frac{|ME|}{|NE|}$=$\frac{\sqrt{9{k}^{2}+4}}{2+3{k}^{2}}$=f（k），通过换元利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：设直线l的方程为y=k（x+$\sqrt{3}$），$0＜k＜\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$．．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+\sqrt{3}）}\\{2{x}^{2}+3{y}^{2}=6}\end{array}\right.$，化为$（2+3{k}^{2}）{x}^{2}+6\sqrt{3}{k}^{2}x$+9k²-6=0，
解得x_M=$\frac{2\sqrt{3}-3\sqrt{3}{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$，
∴y_M=$\frac{4\sqrt{3}k}{2+3{k}^{2}}$．
∴M$（\frac{2\sqrt{3}-3\sqrt{3}{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}，\frac{4\sqrt{3}k}{2+3{k}^{2}}）$，
E$（\sqrt{3}，0）$，
∴|ME|=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{3}-3\sqrt{3}{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}-\sqrt{3}）^{2}+（\frac{4\sqrt{3}k}{2+3{k}^{2}}）^{2}}$=$\frac{2k\sqrt{27{k}^{2}+12}}{2+3{k}^{2}}$．
又N$（\sqrt{3}，2\sqrt{3}k）$，∴|NE|=$2\sqrt{3}$k．
∴$\frac{|ME|}{|NE|}$=$\frac{\sqrt{9{k}^{2}+4}}{2+3{k}^{2}}$=f（k），
令2+3k²=t∈（2，4），$\frac{1}{t}∈（\frac{1}{4}，\frac{1}{2}）$．
f（k）=g（t）=$\frac{\sqrt{3t-2}}{t}$=$\sqrt{-2（\frac{1}{t}-\frac{3}{4}）^{2}+\frac{9}{8}}$∈$（\frac{\sqrt{10}}{4}，1）$．
∴$\frac{|ME|}{|NE|}$的取值范围是$（\frac{\sqrt{10}}{4}，1）$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式、二次函数的单调性，考查了“换元法”、推理能力与计算能力，属于中档题．