Question

2．如图所示的一块长方体木料中，已知AB=BC=2，AA₁=1，设F为线段AD上一点，则该长方体中经过点A₁，F，C的截面面积的最小值为$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 根据题意，建立建立空间直角坐标系O-xyz，用坐标表示向量，
通过向量计算截面面积，求出截面面积的最小值．

解答 解：如图所示，
以DA为x轴，AB为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，
设截面与交B₁C₁点K，
F（-2入，0，0），则$\overrightarrow{FC}$=（-2+2入，2，0），$\overrightarrow{{FA}_{1}}$=（2入，0，1）；．
∴s=|$\overrightarrow{FC}$|•|$\overrightarrow{{FA}_{1}}$|sinθ，
s²=${|\overrightarrow{FC}|}^{2}$•${|\overrightarrow{{FA}_{1}}|}^{2}$-${（\overrightarrow{FC}•\overrightarrow{{FA}_{1}}）}^{2}$
=[（-2+2λ）²+4]（4λ²+1）-[（-2+2λ）•2λ]²
=20λ²-8λ+8=20${（λ-\frac{1}{5}）}^{2}$+$\frac{36}{5}$，
当入=$\frac{1}{5}$时，s²取最小值$\frac{36}{5}$，
∴S的最小值为$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了空间位置关系的应用问题，也考查了空间向量的应用问题，是综合性题目．