Question

12．已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ-4sinθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=-1+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）．
（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）若直线l和曲线C相交于A，B两点，且|AB|=3$\sqrt{2}$，求直线l的斜率．

Answer 1

分析 （I）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$可把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，可得圆心、半径，由于直线l过点（1，-1），求出该点到圆心的距离，与半径半径即可判断出位置关系；
（II）利用点到直线的距离公式与弦长公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ-4sinθ，
∴ρ²=2ρcosθ-4ρsinθ，
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²=2x-4y，即（x-1）²+（y+2）²=5，
∵直线l过点（1，-1），且该点到圆心的距离为$\sqrt{（1-1）^{2}+（-1+2）^{2}}$$＜\sqrt{5}$，
∴直线l与曲线C相交．
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线l过圆心，|AB|=2$\sqrt{5}$≠3$\sqrt{2}$，
因此直线l必有斜率，设其方程为y+1=k（x-1），即kx-y-k-1=0，
圆心到直线l的距离$d=\frac{1}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{{（\sqrt{5}）}^{2}-（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}}$，
解得k=±1，
∴直线l的斜率为±1．

点评 本小题主要考查直线的参数方程及其几何意义、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、弦长公式等基础知识；考查运算求解能力；数形结合思想，属于中档题．