Question

7．如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点B，C在圆O上，点B的坐标为（-1，2），点C位于第一象限，∠AOC=α．若|BC|=$\sqrt{5}$，则sin$\frac{α}{2}$cos$\frac{α}{2}$+$\sqrt{3}$cos²$\frac{α}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=（　　）

• A． -$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• B． -$\frac{\sqrt{5}}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 根据三角函数的倍角公式将函数式进行化简，结合三角函数的定义即可得到结论．

解答 解：∵点B的坐标为（-1，2），
∴|OB|=|OC|=$\sqrt{5}$，
∵|BC|=$\sqrt{5}$，
∴△OBC是等边三角形，
则∠AOB=α+$\frac{π}{3}$．
则sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cos（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{-1}{\sqrt{5}}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
则sin$\frac{α}{2}$cos$\frac{α}{2}$+$\sqrt{3}$cos²$\frac{α}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$sinα+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα=sin（α+$\frac{π}{3}$）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
故选：D．

点评 本题主要考查三角函数值的化简和求解，根据条件判断三角形是等边三角形是解决本题的关键．